২৬ ডিসেম্বর ২০১৬ খ্রিস্টাব্দ, সেন্ট স্টিফেনের উৎসব

 

আমি ট্রান্সেন্ডেন্টাল ধ্রুবকের জন্য গুণ, ভাগ, ঘাত এবং লগারিদমের সাধারণ সূত্রগুলি বের করেছি।

যোগ এবং বিয়োগ বের করা আরও কঠিন; এটি কেবল আংশিকভাবে করা হয়েছিল।

ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ধ্রুবকের গণনার নিজস্ব অনন্য পদ্ধতি রয়েছে, অর্থাৎ, তারা আমি যা বলি তা ব্যবহার করে, সূচক গণিত ।

 

এর অর্থ হল প্রদত্ত ধ্রুবকের সূচক (সাবস্ক্রিপ্ট) গুণ, ভাগ, ঘাত এবং লগারিদমের নতুন মান গণনা করতে ব্যবহৃত হয়, সম্ভবত অখণ্ড এবং ডেরিভেটিভ।

আমি সহজ উদাহরণ দিয়ে শুরু করব যাতে বুঝতে সহজ হয় এবং তারপর সাধারণ সূত্রগুলি বের করতে পারি।

 

1. উদাহরণস্বরূপ, দুটি ধ্রুবকের গুণনকে নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারে :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (সমীকরণ 1)

 

তাহলে, একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণে, ধরা যাক

C _m = C ₈ = π = 3.141 592 654...

এবং

সি _এন = সি _৭ = ঙ = ২.৭১৮ ২৮১ ৮২৮...

তারপর

C ₈ × C ₇ = π × e = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

এখন,

( গ _{( ম + ন )/ ২} ) ^২ = ( গ _{( ৮ + ৭/২ )} ) ^২ = ( গ _{( ১৫/২ )} ) ^২ = ( গ _৭.৫ ) ^২

 

"বই ১ - ট্রান্সেন্ডেন্টাল ধ্রুবক - ভূমিকা" থেকে সূত্র ১১ ব্যবহার করে।

আমরা বাস্তব সূচক দিয়ে ধ্রুবকের যেকোনো মান গণনা করতে পারি, নিম্নরূপ:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (সমীকরণ 2)

 

এফটি( ৭.৫) = (০.৯৮৬ ৯৭৬ ৩৫০...) × ( ১.১৫৫ ৭২৭ ৩৫০...) ^৭.৫ = ২.৯২২ ২৮২ ৩৬৪...

আমরা যে বর্গ পাই

(২.৯২২ ২৮২ ৩৬৪...) ^২ = ৮.৫৩৯ ৭৩৪ ২১৬...

 

আপেক্ষিক ত্রুটি হল

ε = -০.০০০ ০০০ ০০১

অর্থাৎ, ন্যূনতম ত্রুটি (যদি থাকে) - গণনাগুলি একটি হাতে ধরা ক্যালকুলেটরে করা হয়।

 

2. দুটি ধ্রুবকের গুণনের সূত্রে ঘাত যোগ করা (সমীকরণ ১)

 

দেয়:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (সমীকরণ 3)

 

আসুন আমরা আগের উদাহরণটি কিছু অতিরিক্ত ক্ষমতা সহ ব্যবহার করি:

( গ ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( গ ₇ ) ³ = ( গ _{( (0.25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

বাম হাতের দিক সমান

= ২৬.৭৪০ ৫৮৫ ৬১...

 

এবং ডান হাতের দিক (আবার, সমীকরণ 2 ব্যবহার করে) হল

= ( গ _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

আপেক্ষিক ত্রুটি

ε = ০.০০০ ০০০ ০০১

 

3. যেকোনো ঘাত এবং সংখ্যার গুণনের সাধারণ সূত্র ।

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (সমীকরণ 4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (সমীকরণ 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Eqn.4b)

 

(সমীকরণ 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; সুতরাং (সমীকরণ 4b) অনেক বেশি শক্তিশালী।

 

"0" এর সমান একটি সূচক সহ তিনটি উৎপাদক এবং তিনটি ঘাতের জন্য শেষ সূত্রের উদাহরণ; (ব্যতিক্রম: এটি কার্যকর করতে, 2X0 কে 2 এর সমান করতে হবে)।

 

( গ ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( গ ₇ ) ^{− 3} × ( গ ₀ = 0.986976350...) ² = 0.064 568 027...

 

সাধারণ সূত্রের দ্বিতীয় অংশটি দেয়

( C _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( C _25.3333 ) ^{− 0.75} =

C _25.3333 গণনা করলে আমরা পাই

= (৩৮.৬০৪ ৯৭৮ ৩২...) ^{− ০.৭৫} = ০.০৬৪ ৫৬৮ ০২৭...

 

সাধারণ সূত্রের তৃতীয় অংশটি দেয়

( C _{( 0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C ₀ ) ^{( 0.25 − 3 + 2 − 1 )} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1.75} =

= (০.০৬৩ ১০৩ ৬২৭...) × (১.০২৩ ২০৬ ২৭৩) = ০.০৬৪ ৫৬৮ ০২৭...

 

তাহলে, তিনটি ফলাফলই একই।

 

4. গুণফল এবং শক্তির লগারিদমের সাধারণ সূত্র ।

 

এতে খুব বেশি কিছু নেই। কিন্তু, সমীকরণ ৪ এর লগারিদম নিলে, আমরা পাই:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (সমীকরণ 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (সমীকরণ 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (সমীকরণ 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( সমীকরণ 5c)

 

আবার, (সমীকরণ 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0 তে

 

"0" এর সমান সূচক সহ ধ্রুবকের শক্তি এবং সূচকের গুণন; (ব্যতিক্রম: এটি কার্যকর করতে ("শক্তি" বা "সূচক") X 0 অবশ্যই শক্তির সমান অথবা সূচক 0 এর সমান নয়)।

 

5. দুটি ধ্রুবকের বিভাজন ।

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (সমীকরণ 6)

 

যেমন, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

এখন, (অধ্যায় 6) ব্যবহার করে

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= ১.১৫৫ ৭২৭ ৩৫০...

 

ধ্রুবকের মানগুলি ব্লগ বিভাগ "ট্রান্সেন্ডেন্টাল ধ্রুবকের সারণী..." থেকে নেওয়া হয়েছে।

 

একই ফলাফল।

 

6. দুটি ধ্রুবকের ঘাত দিয়ে ভাগ ।

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (সমীকরণ 7)

 

= ( সি _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (সমীকরণ 7a)

= ( সি _{( - P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( সমীকরণ 7b)

 

যেমন, থেকে (Eqn. 7): ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

(সমীকরণ ৭ক) থেকে: ( সি _{(( − ২.৫ × ৮ − ০.৫ × ৭)⁄ − ২.৫ − ০.৫ )} ) ^{( ২.৫ − ( − ০.৫ ))} =

= ( গ _{( − ২০ − ৩.৫⁄ − ৩)} ) ^৩ = ( গ _{৭.৮৩৩৩} ) ^৩

 

এই ফলাফল গণনা করতে (সমীকরণ 2) ব্যবহার করা হচ্ছে :

 

ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ফাংশনের সাধারণ সূত্র থেকে:

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

এবং সমীকরণ 7a থেকে:

 

( গ _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

(সমীকরণ ৭খ) থেকে:

 

( C _{( − 2.5 × 8 − 0.5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − (2.5 + 0.5 ))} =

= ( C _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} =

 

এই ফলাফল গণনা করতে (সমীকরণ 2) ব্যবহার করা হচ্ছে:

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23.5} = 0.032 900 694...

 

এখন:

 

( C _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0.032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0.986976350...) ^{− 4} =

(৩০.৩৯৪ ৪৯৫ ৩৭...) ÷ (১.০৫৩ ৮৩৫ ৯৬৩...) = ২৮.৮৪১ ৭৭০ ৮৬...

 

অর্থাৎ, একই ফলাফল।

 

7. যেকোনো সংখ্যক উৎপাদক এবং যেকোনো শক্তি দিয়ে ভাগ করার সাধারণ সূত্র ।

 

(( সি _এম ) ^পি × ( সি _এন ) ^{প্রশ্ন} × ( সি _ও ) ^আর × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (সমীকরণ 8)

 

= ( সি _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p +} q ^{+ r + ... + z )]} = ⁽ সমীকরণ 8a) =

( সি _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( সমীকরণ 8b)

 

(সমীকরণ ৮ক) এর একটি সীমাবদ্ধতা আছে, আগের মতোই, "০" এর সমান ঘাত বা সূচক সহ।

( - P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. লগারিদম ।

 

উভয় দিকের লগারিদম নিয়ে আমরা (সমীকরণ 5a, 5b, এবং 5c) অনুরূপ সমীকরণ পাই।

এখানে লেখাটা খুব ক্লান্তিকর।

 

মন্তব্য :

 

এই সমস্ত সূচক গণিত সূত্রগুলিতে, ধ্রুবক C ₀ = 0.986 976 350... অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে হচ্ছে, যেন অন্যান্য সমস্ত ধ্রুবক এই নির্দিষ্ট ধ্রুবক C ₀ প্লাস C ₈ = π এবং C ₇ = e দিয়ে গণনা করা যেতে পারে।

 

 

এই নিবন্ধগুলির সাথে সম্পর্কিত লিঙ্কগুলি এখানে দেওয়া হল

 

1. π " এবং "e" থেকে প্রাপ্ত সর্বজনীন ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ফাংশন এবং সর্বজনীন ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ধ্রুবক >>> https://luxdeluce.com/523-310-e.html

 

 

2. ট্রান্সেন্ডেন্টাল ধ্রুবকের সারণী নিম্নগামী >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. ট্রান্সেন্ডেন্টাল ধ্রুবকের আপডেট করা সারণী উপরে উঠছে >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. সূচক গণিত – ট্রান্সেন্ডেন্টাল ধ্রুবকের একটি বৈশিষ্ট্য >>> https://luxdeluce.com/524-311-9.html