26. prosince 2016 n. l., svátek svatého Štěpána

 

Odvodil jsem obecné vzorce pro násobení, dělení, mocniny a logaritmy pro transcendentální konstanty.

Sčítání a odčítání je náročnější na odvození; bylo provedeno pouze částečně.

Transcendentální konstanty mají svůj jedinečný způsob výpočtu, tj. používají to, co nazývám, Indexová matematika .

 

To znamená, že indexy (dolní indexy) daných konstant se používají k výpočtu nových hodnot násobení, dělení, mocnin a logaritmů, případně integrálů a derivací.

Začnu s jednoduchými příklady pro snazší pochopení a poté odvodím obecné vzorce.

 

1. Například násobení dvou konstant lze popsat takto :

 

Cm × Cn = ( _C ( _{m + n ) ⁄2 )} 2 ⁽ rovnice 1 ₎

 

Takže v konkrétním příkladu řekněme

Cm = C ₈ = π = 3,141 592 654 _...

A

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Pak

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Teď,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Použitím vzorce Eq. 11 z knihy „Kniha 1 – Transcendentální konstanty – Úvod“.

Můžeme vypočítat libovolnou hodnotu konstanty s reálným indexem takto:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (rovnice 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Umocnění, které dostaneme

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Relativní chyba je

ε = -0,000 000 001

tj. minimální chyba (pokud vůbec) - výpočty se provádějí na ruční kalkulačce.

 

2. Přidání mocnin do vzorce pro násobení dvou konstant (rovnice 1)

 

dává:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ) ^q = [ _C ( _{p × m + q × n )} ^⁄p _{+ q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ rovnice 3 ⁾

 

Použijme předchozí příklad s několika přidanými pravomocemi:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Levá strana se rovná

= 26,740 585 61...

 

A pravá strana (opět s využitím rovnice 2) je

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Relativní chyba

ε = 0,000 000 001

 

3. Obecný vzorec pro násobení libovolných mocnin a počtu dělitelů .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _{Cx )} z = ⁽ rovnice 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (rovnice 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Rovnice 4b)

 

V (rovnici 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; takže (rovnice 4b) je mnohem robustnější.

 

Příklad posledního vzorce pro tři činitele a tři mocniny s jedním indexem rovným „0“; (výjimka: aby to fungovalo, musí se 2X0 rovnat 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Druhá část obecného vzorce dává

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _{= 25,3333} ) ^{− 0,75} =

Pomocí rovnice 2 pro výpočet C _25,3333 dostaneme

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Třetí část obecného vzorce dává

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Takže všechny tři výsledky jsou stejné.

 

4. Obecný vzorec pro logaritmus součinů a mocnin .

 

Není na tom nic moc. Ale logaritmováním rovnice 4 dostaneme:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ₍ ^Co ) r _× ^… × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^rovnice 5 )

 

= p × ln( Cm ) + q × _ln ( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ +… + z × _ln ( Cx ) = (rovnice 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (rovnice 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( Rovnice _5c )

 

Opět v (rovnici 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Násobení mocniny a indexu konstanty s indexem rovným „0“; (výjimka: aby to fungovalo („mocnina“ nebo „index“), X 0 musí být rovno mocnině nebo index nemusí být roven 0).

 

5. Dělení dvou konstant .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (rovnice 6)

 

např. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Nyní s využitím (rovnice 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C − 1) − 1 ⁄(C0) − ₁ = ⁽ 0,853 987 ₁₈₉ ^... ) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Hodnoty konstant jsou ze sekce blogu „Tabulka transcendentálních konstant...“

 

Stejné výsledky.

 

6. Dělení dvou konstant mocninami .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (rovnice 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (rovnice 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( −1 − ( P − q ))} ( rovnice 7b)

 

např. z (Rov. 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄ ( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄ ( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Z (rovnice 7a): ( C _{((− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ −2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( −0,5 ))} =

= ( _C ( _{−20−3,5⁄ −3)} ) ^³ = ( C7,8333 ) ^³

 

Použitím (rovnice 2) pro výpočet tohoto výsledku:

 

Z obecného vzorce transcendentální funkce:

 

TF( 7,8333) = ( Co ) _× ( π⁄e ) ^7,8333 = 3,066 718 931 ...

 

A z rovnice 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Z (rovnice 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ / ⁄( C0 ₎ ^{( −1−(2,5 + 0,5 ))} =

= ( _C − _23,5 ) ^{− 1} /⁄( C0 ) ^{− 4} =

 

Použitím (rovnice 2) pro výpočet tohoto výsledku:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Teď:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1 /} _⁄ ( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

tj. stejný výsledek.

 

7. Obecný vzorec pro dělení s libovolným počtem dělitelů a libovolnými mocninami .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( CO ₎ ^R × ...  × ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ) ^r × ... × ( Cx) z ₎ ⁼ ₍ rovnice 8 ₎

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Rovnice 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /⁄( _C0 ) [ ^{− 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( rovnice 8b)

 

(Rovnice 8a) má stejně jako dříve omezení s mocninami nebo indexy rovnými „0“.

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmy .

 

Dostaneme podobné rovnice jako v (rovnice 5a, 5b a 5c), logaritmujeme obě strany.

Je příliš nudné to sem psát.

 

Komentáře :

 

Ve všech těchto vzorcích Index Math se konstanta _C0 = 0,986 976 350... jeví jako nesmírně důležitá, jako by všechny ostatní konstanty bylo možné vypočítat s touto konkrétní konstantou _C0 plus C8 = _π a C7 ₌ e.

 

 

Zde jsou odkazy související s těmito články

 

1. Univerzální transcendentální funkce a univerzální transcendentální konstanty odvozené z " π " a "e" >>> https://luxdeluce.com/513-300-4-univerzalni-transcendentalni-funkce-a-univerzalni-transcendentalni-konstanty-odvozene-zae.html

 

 

2. Tabulka transcendentálních konstant směrem dolů >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Aktualizovaná tabulka transcendentálních konstant postupně roste >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Indexová matematika – vlastnost transcendentálních konstant >>> https://luxdeluce.com/514-301-9-nektere-vlastnosti-transcendentalni-funkce.html