26. december 2016 e.Kr., Sankt Stefans fest

 

Jeg udledte generelle formler for multiplikation, division, potenser og logaritmer for de transcendentale konstanter.

Addition og subtraktion er mere udfordrende at udlede; det blev kun delvist gjort.

Transcendentale konstanter har deres unikke beregningsmetode, dvs. de bruger det, jeg kalder, Indeksmatematik .

 

Det betyder, at indeks (sænkede tegn) for de givne konstanter bruges til at beregne nye værdier af multiplikation, division, potenser og logaritmer, muligvis integraler og derivater.

Jeg vil starte med simple eksempler, så det er lettere at forstå, og derefter udlede de generelle formler.

 

1. For eksempel kan multiplikationen af to konstanter beskrives som følger :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )/ 2} ) ² (ligning 1)

 

Så lad os i et konkret eksempel sige

C _m = C ₈ = π = 3.141 592 654...

Og

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Så

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Nu,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Brug af formel ligning 11 fra "Bog 1 - Transcendentale konstanter - Introduktion".

Vi kan beregne enhver værdi af konstanten med et reelt indeks som følger:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (ligning 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Kvadrering, som vi får

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Relativ fejl er

ε = -0,000 000 001

dvs. minimal fejl (hvis overhovedet) - beregninger foretages på en håndholdt lommeregner.

 

2. Addition af potenser til formlen for multiplikation af to konstanter (ligning 1)

 

giver:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) / p + q )} ] ^{( p + q )} (ligning 3)

 

Lad os bruge det foregående eksempel med nogle ekstra potenser:

( C8 ) ^1/4 × ( C7 ) ³ = ( C _{( (0,25} ^× _{8 + 3 × 7)/ 0,25 + 3)} ) _0,25 ^{+ 3}

Venstre side er lig med

= 26,740 585 61...

 

Og højre side (igen, ved brug af ligning 2) er

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Relativ fejl

ε = 0,000 000 001

 

3. Den generelle formel for multiplikation for enhver potens og ethvert antal faktorer .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _Cx ) z ⁼ ( ligning 4 ₎

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Ligning 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Eqn.4b)

 

I (ligning 4a) er p + q + r +...+ z ≠ 0; så er (ligning 4b) meget mere robust.

 

Eksempel på den sidste formel for tre faktorer og tre potenser med ét indeks lig med "0"; (undtagelse: for at den skal virke, skal 2X0 være lig med 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Den anden del af den generelle formel giver

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)/ ( 0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C25,3333 ) ^{− 0,75} =

Ved at bruge ligning 2 til at beregne C _25,3333 får vi

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Den tredje del af den generelle formel giver

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Så alle tre resultater er de samme.

 

4. Den generelle formel for logaritmen af produkterne og potensen .

 

Der er ikke meget i det. Men hvis vi tager logaritmerne af ligning 4, får vi:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ₍ ^Co ) r _× ^… × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^ligning 5 )

 

= p × ln( Cm ) ₊ q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ +… + z × _ln ( Cx ) = (Ligning 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (Ligning 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( ligning _5c )

 

Igen, i (ligning 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Multiplikation af potens og indeks for konstanten med indeks lig med "0"; (undtagelse: for at det skal virke ("potens" eller "indeks") skal X 0 være lig med potens, eller indekset er ikke lig med 0).

 

5. Division af to konstanter .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M + n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (ligning 6)

 

f.eks. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Nu, ved at bruge (ligning 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Værdierne for konstanterne er fra blogafsnittet "Tabel over transcendentale konstanter..."

 

Samme resultater.

 

6. Division af to konstanter med potenser .

 

( CM ₎ ^P / ( Cn ₎ ^{q =} ( ligning 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) / − P + q )} ) ^{( P − q )} = (ligning 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( ligning 7b)

 

fx fra (Eqn. 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Fra (ligning 7a): ( C _{((− 2,5 × 8−0,5 × 7)⁄ −2,5−0,5 )} ) ^{( 2,5− (− 0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄⁄−3)} ) ³ ₌ ( C7,8333 ) ³

 

Brug (ligning 2) til at beregne dette resultat:

 

Fra den generelle formel for transcendentale funktioner:

 

TF( 7,8333) = ( Co ₎ × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

Og fra ligning 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Fra (ligning 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻ 1⁄( C0 ₎ ⁽ − ^{1−(2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Brug (ligning 2) til at beregne dette resultat:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Nu:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

dvs. det samme resultat.

 

7. Generel formel for division med et vilkårligt antal faktorer og en vilkårlig potens .

 

₍ ( CM ) ^P × ( CN ) _Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ) ^r × ... × ( _Cx ) z ⁾ _{= ( ligning} 8)

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Ligning 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /( _C0 ) [ ^{− 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Ligning 8b)

 

(Ligning 8a) har en begrænsning, som før, med potenser eller indekser lig med "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmer .

 

Vi får ligninger lignende (ligning 5a, 5b og 5c), idet vi tager logaritmen på begge sider.

Det er for kedeligt at skrive det her.

 

Kommentarer :

 

I alle disse indeksmatematikformler synes konstanten _C0 = 0,986 976 350... at være af yderste vigtighed, som om alle _{de andre} konstanter kan beregnes med denne specifikke konstant C0 plus C8 = π og C7 ₌ e.

 

 

Her er links relateret til disse artikler

 

1. Universel transcendental funktion og universelle transcendentale konstanter afledt af " π " og "e" >>> https://luxdeluce.com/511-298-4-universel-transcendental-funktion-og-universelle-transcendentale-konstanter-afledt-af-og-e.html

 

 

2. Tabel over transcendentale konstanter, der går nedad >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Opdateret tabel over transcendentale konstanter, der går opad >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Indeksmatematik – en egenskab ved transcendentale konstanter >>> https://luxdeluce.com/512-299-9-nogle-af-egenskaberne-ved-den-transcendentale-funktion.html