26. decembra 2016, na praznik svetega Štefana

 

Izpeljal sem splošne formule za množenje, deljenje, potenciranje in logaritme za transcendentalne konstante.

Seštevanje in odštevanje sta zahtevnejša za izpeljavo; izpeljano je bilo le delno.

Transcendentalne konstante imajo svoj edinstven način izračuna, tj. uporabljajo tisto, čemur jaz pravim, Kazalo matematike .

 

To pomeni, da se indeksi (podpisniki) danih konstant uporabljajo za izračun novih vrednosti množenja, deljenja, potenc in logaritmov, morebiti integralov in odvodov.

Začel bom s preprostimi primeri, da bo lažje razumeti, nato pa bom izpeljal splošne formule.

 

1. Na primer, množenje dveh konstant lahko opišemo takole :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄² )} ² ⁽ enačba 1)

 

Torej, recimo v konkretnem primeru

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

In

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Potem

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654 ... × 2,718 281 828 ... = 8,539 734 223 ...

 

Zdaj,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ) ₂

 

Z uporabo formule En. 11 iz "Knjige 1 - Transcendentalne konstante - Uvod".

Vsako vrednost konstante z realnim indeksom lahko izračunamo na naslednji način:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (enačba 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Kvadriranje, ki ga dobimo

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Relativna napaka je

ε = -0,000 000 001

tj. minimalna napaka (če sploh) - izračuni se izvajajo na ročnem kalkulatorju.

 

2. Dodajanje potenc formuli za množenje dveh konstant (enačba 1)

 

daje:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q = [ ^C ( _p × _{m + q × n ) ⁄p + q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ ^enačba 3)

 

Uporabimo prejšnji primer z nekaj dodatnimi pooblastili:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Leva stran je enaka

= 26,740 585 61 ...

 

In desna stran (spet z uporabo enačbe 2) je

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Relativna napaka

ε = 0,000 000 001

 

3. Splošna formula za množenje za poljubne potenčne vrednosti in število faktorjev .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _{Cx )} z = ⁽ enačba 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (enačba 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Enačba 4b)

 

V (enačbi 4a) je p + q + r +...+ z ≠ 0; zato je (enačba 4b) veliko bolj robustna.

 

Primer zadnje formule za tri faktorje in tri potenčne vrednosti z enim indeksom, enakim "0"; (izjema: da deluje, mora biti 2X0 enako 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Drugi del splošne formule daje

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _{= 25,3333} ) ^{− 0,75} =

Z uporabo enačbe 2 za izračun C _25,3333 dobimo

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Tretji del splošne formule daje

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ⁽ 0,25 ^{− 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Torej so vsi trije rezultati enaki.

 

4. Splošna formula za logaritem produktov in potenco .

 

Nič posebnega ni. Če pa logaritmiramo enačbo 4, dobimo:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ₍ ^Co ) r _× ^… × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^enačba 5 )

 

= p × ln( Cm _{) +} q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ + … + z × ln( Cx ) = (enačba 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (enačba 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( enačba _{5c )}

 

Spet, v (enačbi 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Množenje potenčne vrednosti in indeksa konstante z indeksom, enakim "0"; (izjema: da deluje ("potenčna vrednost" ali "indeks"), mora biti X 0 enak potenčni vrednosti ali indeks, ki ni enak 0).

 

5. Deljenje dveh konstant .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (enačba 6)

 

npr. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Sedaj, z uporabo (enačbe 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C − 1) − 1 ⁄(C0) − ₁ = ⁽ 0,853 987 ₁₈₉ ^... ) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350 ...

 

Vrednosti konstant so iz razdelka bloga »Tabela transcendentalnih konstant ...«

 

Isti rezultati.

 

6. Deljenje dveh konstant s potencami .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (enačba 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (enačba 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( −1 − ( P − q ))} ( enačba 7b)

 

npr. iz (En. 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Iz (enačbe 7a): ( C _{((− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ −2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( −0,5 ))} =

= ( _C ( _{−20−3,5⁄ −3)} ) ³ = ( C7,8333 ) ³

 

Z uporabo (enačbe 2) za izračun tega rezultata:

 

Iz splošne formule transcendentalne funkcije:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

In iz enačbe 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Iz (enačbe 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ / ⁄( C0 ₎ ^{( −1−(2,5 + 0,5 ))} =

= ( _C − _23,5 ) ^{− 1} /( C0 ) ^{− 4} =

 

Z uporabo (enačbe 2) za izračun tega rezultata:

 

TF( -23,5) = (0,986976350 ...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694 ...

 

Zdaj:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} _/ ⁄( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

tj. enak rezultat.

 

7. Splošna formula za deljenje s poljubnim številom faktorjev in poljubnimi potencami .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ) ^r × ... × ( Cx) z ₎ ⁼ _{( enačba} 8)

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (enačba 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /⁄( _C0 ) [ ^{− 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( enačba 8b)

 

(Enačba 8a) ima, kot prej, omejitev s potencami ali indeksi, enakimi "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritimi .

 

Dobimo podobne enačbe kot (enačbe 5a, 5b in 5c), pri čemer logaritem uporabimo na obeh straneh.

Preveč dolgočasno je, da bi to pisali tukaj.

 

Komentarji :

 

V vseh teh formulah Index Math se zdi konstanta C0 = 0,986 976 350... izjemnega pomena, kot da bi vse druge konstante lahko izračunali s to konstanto _{C0 plus} C8 = π _in C7 = _e .

 

 

Tukaj so povezave, povezane s temi članki

 

1. Univerzalna transcendentalna funkcija in univerzalne transcendentalne konstante, izpeljane iz " π " in "e" >>> https://luxdeluce.com/507-294-4-knjiga-1-b-univerzalna-transcendentalna-funkcija-in-univerzalne-transcendentalne-konstante-izpeljane-iz-in-e.html

 

 

2. Tabela transcendentalnih konstant, ki se spušča >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Posodobljena tabela transcendentalnih konstant >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Indeksna matematika – lastnost transcendentalnih konstant >>> https://luxdeluce.com/508-295-9-knjiga-2-b-nekatere-lastnosti-transcendentalne-funkcije.html