26 Desember 2016 n.C., Fees van St. Stefanus

 

Ek het algemene formules vir vermenigvuldiging, deling, magte en logaritmes vir die Transendentale Konstantes afgelei.

Optelling en aftrekking is moeiliker om af te lei; dit is slegs gedeeltelik gedoen.

Transendentale Konstantes het hul unieke manier van berekening, d.w.s. hulle gebruik wat ek noem, Indeks Wiskunde .

 

Dit beteken dat indekse (onderskrifte) van die gegewe konstantes gebruik word om nuwe waardes van vermenigvuldiging, deling, magte en logaritmes, moontlik integrale en afgeleides, te bereken.

Ek sal begin met eenvoudige voorbeelde sodat dit makliker is om te verstaan en dan die algemene formules aflei.

 

1. Byvoorbeeld, die vermenigvuldiging van twee konstantes kan soos volg beskryf word :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )/ 2} ) ² (Vergelyking 1)

 

So, in 'n konkrete voorbeeld, kom ons sê

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

En

Cn = C7 = e = 2.718 281 _{828 ...}

Toe

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Nou,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7.5 ₎ 2

 

Gebruik formule Vgl. 11 uit "Boek 1 - Transendentale Konstantes - Inleiding".

Ons kan enige waarde van die konstante met 'n reële indeks soos volg bereken:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (Vergelyking 2)

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

Kwadraat wat ons kry

(2.922 282 364...) ² = 8.539 734 216...

 

Relatiewe fout is

ε = -0.000 000 001

d.w.s. minimale fout (indien enige fout) - berekeninge word op 'n handrekenaar gemaak.

 

2. Magte byvoeg by die formule vir die vermenigvuldiging van twee konstantes (Vgl. 1)

 

gee:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) / p + q )} ] ^{( p + q )} (Vergelyking 3)

 

Kom ons gebruik die vorige voorbeeld met 'n paar bykomende kragte:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0.25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

Linkerkant is gelyk aan

= 26.740 585 61...

 

En die regterkant (weer eens, met behulp van Vgl. 2) is

= ( C _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

Relatiewe fout

ε = 0.000 000 001

 

3. Die algemene formule vir vermenigvuldiging vir enige magte en aantal faktore .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _Cx ) z ⁼ (Vgl . ₄ )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Vergelyking 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Vgl.4b)

 

In (Vgl. 4a) is p + q + r +...+ z ≠ 0; dus is (Vgl. 4b) baie meer robuust.

 

Voorbeeld van die laaste formule vir drie faktore en drie magte met een indeks gelyk aan "0"; (uitsondering: om dit te laat werk, moet 2X0 gelyk wees aan 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0.986976350 ... ) ² = 0.064 568 027 ...

 

Die tweede deel van die algemene formule gee

( C _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( C25.3333 ) ^{− 0.75} =

Deur Vgl. 2 te gebruik om C _{25.3333 te bereken,} kry ons

= (38.604 978 32...) ^{− 0.75} = 0.064 568 027...

 

Die derde deel van die algemene formule gee

( C ₍ 0.25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0.25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1.75} =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

So, al drie resultate is dieselfde.

 

4. Die algemene formule vir die logaritme van die produkte en mag .

 

Daar is nie veel daaraan verbonde nie. Maar as ons logaritmes van Vergelyking 4 neem, kry ons:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q _× ⁽ Co ) _r ^× … × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^Vergelyking 5 )

 

= p × ln( Cm _{) +} q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ +… + z × ln( Cx ) = (Vergelyking 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄p + q + r + ... + z )} ) = (Vergelyking 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( Vgl _{. 5c} )

 

Weereens, in die (Vgl. 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Vermenigvuldiging van mag en indeks van die konstante met indeks gelyk aan "0"; (uitsondering: om dit te laat werk ("mag" of "indeks") moet X 0 gelyk wees aan mag of indeks nie gelyk aan 0 nie).

 

5. Deling van twee konstantes .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M + n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (Vergelyking 6)

 

bv, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Nou, deur (Vgl. 6) te gebruik

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0.853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1.155 727 350...

 

Die waardes van konstantes is afkomstig van die blogafdeling "Tabel van Transendentale Konstantes..."

 

Dieselfde resultate.

 

6. Deling van twee konstantes met magte .

 

( CM ₎ ^P /( Cn ₎ ^{q =} ( Vgl . 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Vergelyking 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C0 ₎ ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Vergelyking 7b)

 

bv, van (Vgl. 7): ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

Van (Vgl. 7a): ( C _{((− 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄ − 2.5 − 0.5 )} ) ^{( 2.5 − (− 0.5 ))} =

= ( C _{( −20−3.5⁄⁄−3)} ) ³ ₌ ( C7.8333 ) ³

 

Gebruik (Vgl. 2) om hierdie resultaat te bereken:

 

Van die Transendentale Funksie algemene formule:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

En uit vergelyking 7a:

 

( C _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

Uit (Vergelyking 7b):

 

( C _{( −2.5 × 8−0.5 × 7)} ) ⁻ 1⁄( C0 ₎ ⁽ − ^{1−(2.5 + 0.5 ))} =

= ( C _{− 23.5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Gebruik (Vgl. 2) om hierdie resultaat te bereken:

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23.5} = 0.032 900 694...

 

Nou:

 

( C _{− 23.5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0.032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0.986976350...) ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

d.w.s. dieselfde resultaat.

 

7. Algemene formule vir deling met enige aantal faktore en enige magte .

 

₍ ( CM ) ^P × ( CN ) _Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Vergelyking 8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Vgl. 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C0 ₎ ^{[ − 1} − ^{(( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Vergelyking 8b)

 

(Vgl. 8a) het 'n beperking, soos voorheen, met magte of indekse gelyk aan "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmes .

 

Ons kry soortgelyke vergelykings as (Vgl. 5a, 5b en 5c), deur die logaritme aan beide kante te neem.

Dit is te vervelig om dit hier te skryf.

 

Kommentaar :

 

In al hierdie Indekswiskundeformules lyk die Konstante _C0 = 0.986 976 350... van die uiterste belang, asof al die ander konstantes met hierdie spesifieke Konstante _C0 plus C8 = _π en C7 ₌ e bereken kan word.

 

 

Hier is die skakels wat verband hou met hierdie artikels

 

1. Universele Transendentale Funksie en Universele Transendentale Konstantes afgelei van " π " en "e" >>> https://luxdeluce.com/519-306-4-universele-transendentale-funksie-en-universele-transendentale-konstantes-afgelei-van-en-e.html

 

 

2. Tabel van Transendentale Konstantes wat Afgaan >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Opgedateerde tabel van transendentale konstantes wat styg >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Indekswiskunde – 'n Eienskap van Transendentale Konstantes >>> https://luxdeluce.com/520-307-9-sommige-van-die-eienskappe-van-transendentale-funksie.html