26. decembra 2016, sviatok svätého Štefana

 

Odvodil som všeobecné vzorce pre násobenie, delenie, umocňovanie a logaritmy pre transcendentálne konštanty.

Sčítanie a odčítanie je náročnejšie na odvodenie; bolo to urobené len čiastočne.

Transcendentálne konštanty majú svoj jedinečný spôsob výpočtu, t. j. používajú to, čo ja nazývam, Indexová matematika .

 

To znamená, že indexy (dolné indexy) daných konštánt sa používajú na výpočet nových hodnôt násobenia, delenia, mocnín a logaritmov, prípadne integrálov a derivácií.

Začnem s jednoduchými príkladmi, aby boli ľahšie pochopiteľné, a potom odvodím všeobecné vzorce.

 

1. Napríklad, násobenie dvoch konštánt možno opísať takto :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄² )} ² ⁽ rovnica 1)

 

Takže, v konkrétnom príklade, povedzme

Cm = C8 = π = 3,141 592 _{654 ...}

A

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Potom

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Teraz,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Použitím vzorca Eq. 11 z knihy „Kniha 1 – Transcendentálne konštanty – Úvod“.

Ľubovoľnú hodnotu konštanty s reálnym indexom môžeme vypočítať takto:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (rovnica 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Umocnenie, ktoré dostaneme

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Relatívna chyba je

ε = -0,000 000 001

tj. minimálna chyba (ak vôbec) - výpočty sa vykonávajú na ručnej kalkulačke.

 

2. Pridanie mocnín k vzorcu pre násobenie dvoch konštánt (rovnica 1)

 

dáva:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ) ^q = [ _C ( _{p × m + q × n ) ⁄p + q ) ]} ^{( p} + ^q ₎ ⁽ rovnica 3 ⁾

 

Použime predchádzajúci príklad s niekoľkými pridanými právomocami:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Ľavá strana sa rovná

= 26,740 585 61...

 

A pravá strana (opäť s použitím rovnice 2) je

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Relatívna chyba

ε = 0,000 000 001

 

3. Všeobecný vzorec pre násobenie ľubovoľných mocnín a počet činiteľov .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _Cx ) z ⁼ ( rovnica 4 ₎

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Rovnica 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Rovnica 4b)

 

V (rovnici 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; takže (rovnica 4b) je oveľa robustnejšia.

 

Príklad posledného vzorca pre tri činitele a tri mocniny s jedným indexom rovným „0“; (výnimka: aby to fungovalo, 2X0 sa musí rovnať 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Druhá časť všeobecného vzorca dáva

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C25,3333 ) ^{− 0,75} =

Pomocou rovnice 2 na výpočet C _25,3333 dostaneme

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Tretia časť všeobecného vzorca dáva

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Takže všetky tri výsledky sú rovnaké.

 

4. Všeobecný vzorec pre logaritmus súčinov a mocníny .

 

Nie je to veľa. Ale logaritmovaním rovnice 4 dostaneme:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ₍ ^Co ) r _× ^… × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^rovnica 5 )

 

= p × ln( Cm ) ₊ q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ +… + z × _ln ( Cx ) = (Rovnica 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (rovnica 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( Rovnica _5c )

 

Opäť, v (rovnici 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Násobenie mocniny a indexu konštanty s indexom rovným „0“; (výnimka: aby to fungovalo („mocnina“ alebo „index“) X 0 musí byť rovné mocnine alebo index nemusí byť rovný 0).

 

5. Delenie dvoch konštánt .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (rovnica 6)

 

napr. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Teraz, pomocou (rovnice 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C − 1) − 1 ⁄(C0) − ₁ = ⁽ 0,853 987 ₁₈₉ ^... ) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Hodnoty konštánt sú zo sekcie blogu „Tabuľka transcendentálnych konštánt...“

 

Rovnaké výsledky.

 

6. Delenie dvoch konštánt mocninami .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (rov. 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (rovnica 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( −1 − ( P − q ))} ( rovnica 7b)

 

napr. z (Rov. 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄ ( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄ ( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Z (rovnice 7a): ( C _{((− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ −2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( −0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄−3)} ) ³ ₌ ( C7,8333 ) ³

 

Použitím (rovnice 2) na výpočet tohto výsledku:

 

Z všeobecného vzorca transcendentálnej funkcie:

 

TF( 7,8333) = ( Co ) _× ( π⁄e ) ^7,8333 = 3,066 718 931 ...

 

A z rovnice 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Z (rovnice 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ /( _C0 ) ( ^{− 1−(2,5 + 0,5 ))} =

₌ ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C0 ) ^{− 4} =

 

Použitím (rovnice 2) na výpočet tohto výsledku:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Teraz:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1 /} _⁄ ( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

t. j. rovnaký výsledok.

 

7. Všeobecný vzorec pre delenie s ľubovoľným počtom činiteľov a ľubovoľnými mocninami .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  _× ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) q ^× ( _{Co )} ^r × ... × ( Cx ₎ ^{z ) = (} rovnica 8 )

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Rovnica 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ⁻ 1/1( C0 ) ^{[ − 1 −} ₍ ^{( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( rovnica 8b)

 

(Rovnica 8a) má, rovnako ako predtým, obmedzenie s mocninami alebo indexmi rovnými „0“.

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmy .

 

Dostaneme podobné rovnice ako v (rovnici 5a, 5b a 5c), ak logaritmujeme obe strany.

Je príliš zdĺhavé to sem písať.

 

Komentáre :

 

Vo všetkých týchto vzorcoch Index Math sa zdá, že konštanta _C0 = 0,986 976 350... je mimoriadne dôležitá, akoby sa všetky ostatné konštanty dali vypočítať s touto konkrétnou konštantou _C0 plus C8 = _π a C7 ₌ e.

 

 

Tu sú odkazy súvisiace s týmito článkami

 

1. Univerzálna transcendentálna funkcia a univerzálne transcendentálne konštanty odvodené od „ π “ a „e“ >>> https://luxdeluce.com/505-292-4-kniha-1-b-univerzálna-transcendentálna-funkcia-a-univerzálne-transcendentalne-konstanty-odvodene-z-cisel-pi-ae.html

 

 

2. Tabuľka transcendentálnych konštánt smerom nadol >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Aktualizovaná tabuľka transcendentálnych konštánt >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Indexová matematika – vlastnosť transcendentálnych konštánt >>> https://luxdeluce.com/506-293-9-kniha-2-b-niektore-vlastnosti-transcendentalnej-funkcie.html