26 decembrie 2016 d.Hr., Sărbătoarea Sfântului Ștefan

 

Am derivat formule generale pentru înmulțire, împărțire, puteri și logaritmi pentru Constantele Transcendentale.

Adunarea și scăderea sunt mai dificil de calculat; au fost făcute doar parțial.

Constantele transcendentale au modul lor unic de calcul, adică folosesc ceea ce eu numesc, Index Matematică .

 

Aceasta înseamnă că indicii (indicele) constantelor date sunt utilizați pentru a calcula noi valori ale înmulțirii, împărțirii, puterilor și logaritmilor, eventual integrale și derivate.

Voi începe cu exemple simple, pentru a fi mai ușor de înțeles, iar apoi voi deriva formulele generale.

 

1. De exemplu, înmulțirea a două constante poate fi descrisă astfel :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄² )} ² ⁽ Ecuația 1)

 

Deci, într-un exemplu concret, să zicem

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

Şi

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Apoi

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Acum,

( C _{( m + n )⁄² )} ² ⁼ ( _C ( _{8 + 7⁄²} ) ^² = ( C _{( 15⁄²) ²} ) ^² = ( C7,5 ) ^²

 

Folosind formula Ec. 11 din „Cartea 1 - Constante transcendentale - Introducere”.

Putem calcula orice valoare a unei constante cu indice real, după cum urmează:

 

FT(x) = ( C₀ ₎ × (π/ e) ^x (Ecuația 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Elevarea la pătrat pe care o obținem

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Eroarea relativă este

ε = -0,000 000 001

adică eroare minimă (dacă există) - calculele se fac pe un calculator portabil.

 

2. Adunarea puterilor la formula pentru înmulțirea a două constante (Ecuația 1)

 

dă:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ) ^q = [ _C ( _{p × m + q × n )} ^⁄p _{+ q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ Ecuația 3 ⁾

 

Să folosim exemplul anterior cu câteva puteri adăugate:

( C8 ₎ ^1/4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Partea stângă este egală cu

= 26.740 585 61...

 

Și partea dreaptă (din nou, folosind ecuația 2) este

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Eroare relativă

ε = 0,000 000 001

 

3. Formula generală pentru înmulțire pentru orice puteri și număr de factori .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _Cx ) z ⁼ (Ec . ₄ )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Ec. 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Ec.4b)

 

În (Ec. 4a) p + q + r +... + z ≠ 0; deci (Ec. 4b) este mult mai robustă.

 

Exemplu al ultimei formule pentru trei factori și trei puteri cu un indice egal cu „0”; (excepție: pentru ca aceasta să funcționeze, 2X0 trebuie să fie egal cu 2).

 

( C8 ₎ ^{1/4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064568027 ...

 

A doua parte a formulei generale dă

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _25,3333 ) ^{− 0,75} =

Folosind ecuația 2 pentru a calcula C _25.3333 obținem

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

A treia parte a formulei generale dă

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ⁽ 0,25 ^{− 3 + 2 − 1)} =

₌ ( C _{− 19} ) × ( C₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Deci, toate cele trei rezultate sunt aceleași.

 

4. Formula generală pentru logaritmul produselor cu puterea .

 

Nu e prea mult de explicat. Dar, luând logaritmii ecuației 4, obținem:

 

ln[( Cm ) p ^× ( Cn ) ^q × ( Co ₎ ^r × … × ( _{Cx )} z ] ⁼ ₍ Ecuația 5)

 

= p × ln( Cm ) + q × _ln ( Cn ₎ + r × ln( Co _{) + …} + z × ln( Cx ) = (Ecuația 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (Ec. 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C₀ )( Ec. _5c )

 

Din nou, în (Ec. 5b) p + q + r +... + z ≠ 0

 

Înmulțirea puterii și a indicelui constantei cu indicele „0”; (excepție: pentru ca aceasta să funcționeze („putere” sau „indice”) X 0 trebuie să fie egal cu puterea sau indicele diferit de 0).

 

5. Împărțirea a două constante .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M + n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Ec. 6)

 

de exemplu, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Acum, folosind (Ecuația 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C − 1) − 1/(C0) − ₁ = ⁽ 0,853 987 ₁₈₉ ^... ) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Valorile constantelor sunt din secțiunea Blogului „Tabelul Constantelor Transcendentale...”

 

Aceleași rezultate.

 

6. Împărțirea a două constante cu puteri .

 

( C _M ) ^P⁄ ( C _n ) ^q = (Ec. 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Ec. 7a)

= ( C _{(−) P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Ec. 7b)

 

de exemplu, din (Ec. 7): ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{− 0.5} = 28.841 770 89...

Din (Ec. 7a): ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄−3)} ) ³ ₌ ( C7,8333 ) ³

 

Folosind (Ec. 2) pentru a calcula acest rezultat:

 

Din formula generală a funcției transcendentale:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

Și din ecuația 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Din (ecuația 7b):

 

( C _{(− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( − 1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} / ( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Folosind (Ec. 2) pentru a calcula acest rezultat:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Acum:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C0 ₎ ^{− 4} = (0,032 900 694...) − ¹ ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

adică același rezultat.

 

7. Formula generală pentru împărțirea cu orice număr de factori și orice puteri .

 

⁽ ( CM ) _P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( Cx ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ) ^r × ... × ( _Cx ) z ⁾ ₌ (Ecuația 8 ₎

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Ec. 8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} / ( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Ec. 8b)

 

(Ec. 8a) are o limitare, ca și înainte, cu puteri sau indici egali cu „0”.

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmi .

 

Obținem ecuații similare cu (Ec. 5a, 5b și 5c), luând logaritmul pe ambele părți.

E prea plictisitor să scriu asta aici.

 

Comentarii :

 

În toate aceste formule matematice Index, constanta C₁ = 0,986 976 350... pare a fi de _cea mai mare importanță, ca și cum toate celelalte constante ar putea fi calculate cu această constantă particulară C₁ plus _{C₁ =} π și C₁ = _e .

 

 

Iată linkurile legate de aceste articole

 

1. Funcția transcendentală universală și constantele transcendentale universale derivate din „ π ” și „e” >>> https://luxdeluce.com/533-320-4-functia-transcendentala-universala-si-constante-transcendentale-universale-derivate-din-si-e.html

 

 

2. Tabelul Constantelor Transcendentale în Descreștere >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Tabel actualizat al constantelor transcendentale în creștere >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Index Matematică – o proprietate a constantelor transcendentale >>> https://luxdeluce.com/534-321-9-unele-dintre-proprietatile-funcției-transcendentale.html