26. desember 2016 e.Kr., festen for St. Stefan

 

Jeg utledet generelle formler for multiplikasjon, divisjon, potenser og logaritmer for de transcendentale konstantene.

Addisjon og subtraksjon er mer utfordrende å utlede; det ble bare delvis gjort.

Transcendentale konstanter har sin unike beregningsmåte, dvs. de bruker det jeg kaller, Indeksmatematikk .

 

Det betyr at indekser (subskripter) av de gitte konstantene brukes til å beregne nye verdier av multiplikasjon, divisjon, potenser og logaritmer, muligens integraler og deriverte.

Jeg vil starte med enkle eksempler slik at det er lettere å forstå, og deretter utlede de generelle formlene.

 

1. For eksempel kan multiplikasjonen av to konstanter beskrives som følger :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )/ 2} ) ² (ligning 1)

 

Så, i et konkret eksempel, la oss si

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

Og

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Da

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Nå,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Bruker formel ligning 11 fra «Bok 1 - Transcendentale konstanter - Introduksjon».

Vi kan beregne en hvilken som helst verdi av konstanten med reell indeks, som følger:

 

FT(x) = ( C₂ ₎ × (π/ e) ^x (ligning 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Kvadrateringen vi får

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Relativ feil er

ε = -0,000 000 001

dvs. minimal feil (om i det hele tatt) - beregninger gjøres på en håndholdt kalkulator.

 

2. Legge potenser til formelen for multiplikasjon av to konstanter (ligning 1)

 

gir:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) / p + q )} ] ^{( p + q )} (ligning 3)

 

La oss bruke det forrige eksemplet med noen ekstra potenser:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Venstre side er lik

= 26,740 585 61...

 

Og høyre side (igjen, ved bruk av ligning 2) er

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Relativ feil

ε = 0,000 000 001

 

3. Den generelle formelen for multiplikasjon for alle potenser og antall faktorer .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _{Cx )} z = ⁽ ligning 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Ligning 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Eqn.4b)

 

I (ligning 4a) er p + q + r +...+ z ≠ 0; så er (ligning 4b) mye mer robust.

 

Eksempel på den siste formelen for tre faktorer og tre potenser med én indeks lik "0"; (unntak: for at den skal fungere, må 2X0 være lik 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Den andre delen av den generelle formelen gir

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)/ ( 0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C25,3333 ) ^{− 0,75} =

Ved å bruke ligning 2 til å beregne C _25,3333 får vi

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Den tredje delen av den generelle formelen gir

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ⁽ 0,25 ^{− 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Så alle tre resultatene er de samme.

 

4. Den generelle formelen for logaritmen til produktene og potensen .

 

Det er ikke mye som skal til. Men hvis vi tar logaritmene til ligning 4, får vi:

 

ln[( Cm ) p ^× ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × … × ( _{Cx )} z ] ⁼ ( Ligning 5)

 

= p × ln( Cm ) ₊ q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ +… + z × _ln ( Cx ) = (Ligning 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (Ligning 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( ligning _5c )

 

Igjen, i (ligning 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Multiplikasjon av potens og indeks for konstanten med indeks lik «0»; (unntak: for at det skal fungere («potens» eller «indeks») må X 0 være lik potens, eller indeksen må ikke være lik 0).

 

5. Divisjon av to konstanter .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M + n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (ligning 6)

 

f.eks. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Nå, ved å bruke (ligning 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Verdiene til konstantene er fra bloggseksjonen «Tabell over transcendentale konstanter...»

 

Samme resultater.

 

6. Divisjon av to konstanter med potenser .

 

( CM ₎ ^P / ( Cn ₎ ^{q =} ( ligning 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) / − P + q )} ) ^{( P − q )} = (ligning 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Ligning 7b)

 

f.eks. fra (Eqn. 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Fra (ligning 7a): ( C _{((− 2,5 × 8−0,5 × 7)⁄ −2,5−0,5 )} ) ^{( 2,5− (− 0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄⁄−3)} ) ³ ₌ ( C7,8333 ) ³

 

Bruk (ligning 2) til å beregne dette resultatet:

 

Fra den generelle formelen for transcendental funksjon:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931 ...

 

Og fra ligning 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Fra (ligning 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻ 1⁄( C0 ₎ ⁽ − ^{1−(2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Bruk (ligning 2) til å beregne dette resultatet:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Nå:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

dvs. samme resultat.

 

7. Generell formel for divisjon med et hvilket som helst antall faktorer og en hvilken som helst potens .

 

( ( CM ₎ ^P × ( CN ₎ ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( Co ) ^r × ... × ( Cx ₎ ^z _{) = (} Ligning 8)

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )/( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Ligning 8a) =

( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /( _C0 ) [ ^{− 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Ligning 8b)

 

(Ligning 8a) har en begrensning, som før, med potenser eller indekser lik "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmer .

 

Vi får lignende ligninger som (ligning 5a, 5b og 5c), der vi tar logaritmen på begge sider.

Det er for kjedelig å skrive det her.

 

Kommentarer :

 

I alle disse indeksmatematikkformlene ser konstanten _C0 = 0,986 _{976 350... ut til å være av største betydning, som om alle de andre} konstantene kan beregnes med denne spesifikke konstanten C0 pluss C8 = π og C7 ₌ e.

 

 

Her er lenkene relatert til disse artiklene

 

1. Universell transcendental funksjon og universelle transcendentale konstanter avledet fra " π " og "e" >>> https://luxdeluce.com/529-316-4-universell-transcendental-funksjon-og-universelle-transcendentale-konstanter-avledet-fra-og-e.html

 

 

2. Tabell over transcendentale konstanter som går nedover >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Oppdatert tabell over transcendentale konstanter som går opp >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Indeksmatematikk – en egenskap ved transcendentale konstanter >>> https://luxdeluce.com/530-317-9-noen-av-egenskapene-til-transcendental-funksjon.html