26. децембар 2016. године, празник Светог Стефана

 

Извео сам опште формуле за множење, дељење, степеновање и логаритме за трансценденталне константе.

Сабирање и одузимање је теже извести; урађено је само делимично.

Трансценденталне константе имају свој јединствени начин израчунавања, тј. користе оно што ја називам, Индекс математике .

 

То значи да се индекси (индекси) датих константи користе за израчунавање нових вредности множења, дељења, степена и логаритама, евентуално интеграла и извода.

Почећу са једноставним примерима како би било лакше разумети, а затим ћу извести опште формуле.

 

1. На пример, множење две константе може се описати на следећи начин :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (Једначина 1)

 

Дакле, у конкретном примеру, рецимо

Ц _м = Ц ₈ = π = 3,141 592 654...

И

C _n = C ₇ = e = 2,718 281 828...

Онда

Ц ₈ × Ц ₇ = π × е = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Сада,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Користећи формулу Једначина 11 из „Књиге 1 - Трансценденталне константе - Увод“.

Можемо израчунати било коју вредност константе са реалним индексом, на следећи начин:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (Једначина 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Квадрирање које добијамо

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Релативна грешка је

ε = -0,000 000 001

тј. минимална грешка (ако је уопште има) - прорачуни се врше на ручном калкулатору.

 

2. Додавање степена формули за множење две константе (Једначина 1)

 

даје:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q = [ ^C ( _p × _{m + q × n ) ⁄p + q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ ^{Једначина} 3)

 

Користимо претходни пример са неким додатним моћима:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Лева страна је једнака

= 26,740 585 61...

 

А десна страна (поново, користећи једначину 2) је

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Релативна грешка

ε = 0,000 000 001

 

3. Општа формула за множење за било које степене и број фактора .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _{Cx )} z = ⁽ Једначина 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Једначина 4а)

= ( Ц _{( п × м + к × н + р × о + ... + з × к )} ) × ( Ц ₀ ) ^{( п + к + р + ... + з − 1)} ( једначина 4б)

 

У (Једначина 4а) p + q + r +...+ z ≠ 0; тако да је (Једначина 4б) много робуснија.

 

Пример последње формуле за три чиниоца и три степена са једним индексом једнаким „0“; (изузетак: да би функционисало, 2X0 мора бити једнако 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Други део опште формуле даје

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C25,3333 ) ^{− 0,75} =

Користећи једначину 2 за израчунавање C _25.3333 добијамо

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Трећи део опште формуле даје

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Дакле, сва три резултата су иста.

 

4. Општа формула за логаритам производа и степена .

 

Нема ту много тога. Али, логаритмима једначине 4 добијамо:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ₍ ^Co ) r _× ^… × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^{Једначина} 5 )

 

= p × ln( Cm _{) +} q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ +… + z × ln( Cx ) = (Једначина 5а)

 

= ( p + q + r + … + z ) × _ln ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄p + q + r + ... + z )} ) = (Једначина 5б)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( Једначина _5ц )

 

Поново, у (Једначина 5б) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Множење степена и индекса константе са индексом једнаким „0“; (изузетак: да би функционисало („степен“ или „индекс“) X 0 мора бити једнако степену или индекс различит од 0).

 

5. Дељење две константе .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Једначина 6)

 

нпр. Ц ₈ ⁄ Ц ₇ = π ⁄ е = 1,155 727 350...

 

Сада, користећи (једначину 6)

 

Ц ₈ ⁄ Ц ₇ = π ⁄ е = ( Ц _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( Ц ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Вредности константи су из одељка блога „Табела трансценденталних константи...“

 

Исти резултати.

 

6. Дељење две константе степеном .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Једначина 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Једначина 7а)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ^{− 1} /( _C0 ) ( ^{−1 − ( P − q ))} ( Једначина 7б )

 

нпр. из (једначине 7): ( Ц ₈ ) ^2,5 ⁄( Ц ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( е ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Из (једначина 7а): ( C _{(( −2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( −0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄−3)} ) ^³ ₌ ( C7,8333 ) ^³

 

Користећи (Једначина 2) за израчунавање овог резултата:

 

Из опште формуле трансценденталне функције:

 

ТФ( 7,8333) = ( Ц ₀ ) × ( π ⁄ е ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

И из једначине 7а:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Из (једначина 7б):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ /( C0) ( ₋ ^{1− (2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Користећи (Једначина 2) за израчунавање овог резултата:

 

ТФ( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ е ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Сада:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1 /} _⁄ ( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

тј. исти резултат.

 

7. Општа формула за дељење са било којим бројем чинилаца и било којим степеном .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Једначина 8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Једначина 8а) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C0 ₎ ^{[ − 1} − ^{(( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Једначина 8б)

 

(Једначина 8а) има ограничење, као и раније, са степеном или индексом једнаким „0“.

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Логаритами .

 

Добијамо сличне једначине као (једначина 5а, 5б и 5ц), логаритмујући обе стране.

Превише је досадно писати то овде.

 

Коментари :

 

У свим овим формулама Index Math, константа C ₀ = 0,986 976 350... изгледа да је од највеће важности, као да се све остале константе могу израчунати помоћу ове константе C ₀ плус C ₈ = π и C ₇ = e.

 

 

Ево линкова повезаних са овим чланцима

 

1. Универзална трансцендентална функција и универзалне трансценденталне константе изведене из „ π “ и „e“ >>> https://luxdeluce.com/527-314-4-e.html

 

 

2. Табела трансценденталних константи >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Ажурирана табела трансценденталних константи >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Индексна математика – својство трансценденталних константи >>> https://luxdeluce.com/528-315-9.html