26 декември 2016 г., празник на Свети Стефан

 

Изведох общи формули за умножение, деление, степени и логаритми за трансценденталните константи.

Събирането и изваждането са по-трудни за извеждане; това беше направено само частично.

Трансценденталните константи имат свой уникален начин на изчисление, т.е. използват това, което аз наричам, Индексна математика .

 

Това означава, че индексите (долните индекси) на дадените константи се използват за изчисляване на нови стойности на умножение, деление, степени и логаритми, евентуално интеграли и производни.

Ще започна с прости примери, за да е по-лесно за разбиране, а след това ще изведа общите формули.

 

1. Например, умножението на две константи може да се опише по следния начин :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄² )} ² ⁽ ур. 1)

 

Така че, в конкретен пример, да кажем

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

И

C _n = C ₇ = e = 2,718 281 828...

Тогава

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Сега,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7.5 ₎ 2

 

Използвайки формула Уравнение 11 от „Книга 1 - Трансцендентални константи - Въведение“.

Можем да изчислим всяка стойност на константа с реален индекс, както следва:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (ур. 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Получаваме повдигане на квадрат

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Относителната грешка е

ε = -0,000 000 001

т.е. минимална грешка (ако изобщо има такава) - изчисленията се правят на ръчен калкулатор.

 

2. Добавяне на степени към формулата за умножение на две константи (ур. 1)

 

дава:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ) ^q = [ _C ( _{p × m + q × n )} ^⁄p _{+ q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ Уравнение 3 ⁾

 

Нека използваме предишния пример с някои допълнителни правомощия:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Лявата страна е равна на

= 26,740 585 61...

 

И дясната страна (отново, използвайки уравнение 2) е

= ( C _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

Относителна грешка

ε = 0,000 000 001

 

3. Общата формула за умножение за всякакви степени и брой множители .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co ₎ ^r × ... × ( _{Cx )} z = ⁽ Уравнение 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Уравнение 4а)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Уравнение 4b)

 

В (ур. 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; следователно (ур. 4b) е много по-стабилно.

 

Пример за последната формула за три множителя и три степени с един индекс, равен на "0"; (изключение: за да работи, 2X0 трябва да е равно на 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0.986976350 ... ) ² = 0.064 568 027 ...

 

Втората част на общата формула дава

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _{= 25,3333} ) ^{− 0,75} =

Използвайки уравнение 2 за изчисляване на C _25.3333, получаваме

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Третата част на общата формула дава

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Така че, и трите резултата са еднакви.

 

4. Общата формула за логаритъма на произведенията и степента .

 

Няма кой знае какво. Но като логаритмираме уравнение 4, получаваме:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ₍ ^Co ) r _× ^… × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^{Уравнение} 5 )

 

= p × ln( Cm _{) +} q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co ₎ +… + z × ln( Cx ) = (Уравнение 5а)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x / p + q + r + ... + z )} ) = (Уравнение 5б)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( Уравнение _5в )

 

Отново, в (ур. 5б) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Умножение на степента и индекса на константата с индекс, равен на „0“; (изключение: за да работи („степен“ или „индекс“) X 0 трябва да е равно на степента или индексът да не е равен на 0).

 

5. Деление на две константи .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (ур. 6)

 

напр. C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Сега, използвайки (Уравнение 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C − 1) − 1 ⁄(C0) − ₁ = ⁽ 0.853 987 ₁₈₉ ^... ) ^{− 1} ÷ (0.986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Стойностите на константите са от секцията на блога „Таблица с трансцендентални константи...“

 

Същите резултати.

 

6. Деление на две константи със степени .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (ур. 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Уравнение 7а)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} /( _C0 ) ( ^{− 1 − ( P − q ))} ( ур. 7б)

 

напр. от (Уравнение 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

От (ур. 7а): ( C _{((− 2.5 × 8 − 0.5 × 7)⁄−2.5 − 0.5 )} ) ^{( 2.5 − ( −0.5 ))} =

= ( C _{( −20−3.5⁄−3)} ) ³ ₌ ( C7.8333 ) ³

 

Използвайки (ур. 2), за да изчислим този резултат:

 

От общата формула на трансценденталната функция:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

И от уравнение 7а:

 

( C _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

От (ур. 7б):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ /( C0) ( ₋ ^{1− (2,5 + 0,5 ))} =

₌ ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /( C0 ) ^{− 4} =

 

Използвайки (ур. 2), за да изчислим този резултат:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Сега:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1 /} _⁄ ( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

тоест, същият резултат.

 

7. Обща формула за деление с произволен брой множители и произволни степени .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( CX ) Z ⁾ ÷ (( _Cm ) p ^× ( Cn ₎ ^q × ( Co ) ^r × ... × ( _Cx ) z ⁾ _{= (} Уравнение 8)

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Уравнение 8а) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /⁄( _C0 ) [ ^{− 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( уравнение 8б)

 

(Уравнение 8а) има ограничение, както преди, със степени или индекси, равни на "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Логаритми .

 

Получаваме подобни уравнения на (ур. 5a, 5b и 5c), като логаритмираме от двете страни.

Твърде досадно е да го пиша тук.

 

Коментари :

 

Във всички тези формули на Index Math, константата C ₀ = 0.986 976 350... изглежда е от изключителна важност, сякаш всички останали константи могат да бъдат изчислени с тази конкретна константа C ₀ плюс C ₈ = π и C ₇ = e.

 

 

Ето линковете, свързани с тези статии

 

1. Универсална трансцендентална функция и универсални трансцендентални константи, получени от " π " и "e" >>> https://luxdeluce.com/525-312-4-e.html

 

 

2. Таблица на трансценденталните константи >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Актуализирана таблица на трансценденталните константи >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Индексна математика – свойство на трансцендентални константи >>> https://luxdeluce.com/526-313-9.html