26 декабря 2016 г. н.э., праздник Святого Стефана

 

Я вывел общие формулы умножения, деления, возведения в степень и логарифмирования для трансцендентных констант.

Сложение и вычитание выполнить сложнее; это было сделано лишь частично.

Трансцендентные константы имеют свой уникальный способ вычисления, т.е. они используют то, что я называю, Индекс математики .

 

Это означает, что индексы (нижние индексы) заданных констант используются для вычисления новых значений умножения, деления, степеней и логарифмов, возможно, интегралов и производных.

Я начну с простых примеров, чтобы было легче понять, а затем выведу общие формулы.

 

1. Например, умножение двух констант можно описать следующим образом :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (Уравнение 1)

 

Итак, в конкретном примере, скажем,

С _м = С ₈ = π = 3,141 592 654...

И

С _n = С ₇ = е = 2,718 281 828...

Затем

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Сейчас,

( С _{( м + п )⁄ 2} ) ² = ( С _{( 8 + 7⁄2)} ) ² = ( С _{( 15⁄2)} ) ² = ( С _7,5 ) ²

 

Используя формулу Ур. 11 из «Книги 1 - Трансцендентные константы - Введение».

мы можем вычислить любое значение константы с действительным индексом следующим образом:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (Уравнение 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Возводя это в квадрат, получаем

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Относительная ошибка составляет

ε = -0,000 000 001

т.е. минимальная погрешность (если она вообще есть) - расчеты производятся на ручном калькуляторе.

 

2. Сложение степеней в формуле умножения двух констант (Уравнение 1)

 

дает:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (Уравнение 3)

 

Давайте воспользуемся предыдущим примером с некоторыми дополнительными возможностями:

( С ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( С ₇ ) ³ = ( С _{( (0,25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Левая сторона равна

= 26,740 585 61...

 

А правая сторона (снова с использованием уравнения 2) равна

= ( С _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Относительная погрешность

ε = 0,000 000 001

 

3. Общая формула умножения для любых степеней и числа множителей .

 

( С _m ) ^p × ( С _n ) ^q × ( С _o ) ^r × ... × ( С _x ) ^z = (Уравнение 4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Уравнение 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z - 1)} ( уравнение 4b)

 

В (уравнении 4а) p + q + r +...+ z ≠ 0; поэтому (уравнение 4б) гораздо более надежно.

 

Пример последней формулы для трех множителей и трех степеней с одним индексом, равным «0»; (исключение: чтобы это работало, 2X0 должно быть равно 2).

 

( С ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( С ₇ ) ^{− 3} × ( С ₀ = 0,986976350...) ² = 0,064 568 027...

 

Вторая часть общей формулы дает

( С _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( С _25,3333 ) ^{− 0,75} =

Используя уравнение 2 для расчета C _25,3333, получаем

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Третья часть общей формулы дает

( С _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( С ₀ ) ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( С _{− 19} ) × ( С ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Итак, все три результата одинаковы.

 

4. Общая формула логарифма произведений и степени .

 

В этом нет ничего особенного. Но, логарифмируя уравнение 4, получаем:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (Уравнение 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (Уравнение 5а)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (Уравнение 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( Ур.5c)

 

Опять же, в (Уравнении 5б) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Умножение степени и индекса константы с индексом, равным «0»; (исключение: чтобы это сработало («степень» или «индекс») X 0 должно равняться степени или индексу, не равным 0).

 

5. Деление двух констант .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Уравнение 6)

 

например, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Теперь, используя (Уравнение 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ знак равно π ⁄ е знак равно ( C _{( - 8 + 7)} ) ^{- 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{- 1} знак равно

= ( С _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( С ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Значения констант взяты из раздела блога «Таблица трансцендентных констант...»

 

Те же результаты.

 

6. Деление двух констант со степенями .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Ур. 7)

 

= ( С _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Уравнение 7а)

= ( С _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Ур. 7б)

 

например, из (уравнения 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄ ( C ₇ ) ^{- 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄ ( e ) ^{- 0,5} = 28,841 770 89 ...

Из (Уравнение 7а): ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( С _{( − 20 − 3,5⁄ − 3)} ) ³ = ( С _7,8333 ) ³

 

Используя (Уравнение 2) для расчета этого результата:

 

Из общей формулы трансцендентной функции:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

И из уравнения 7а:

 

( С _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Из (Уравнение 7б):

 

( С _{( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( С ₀ ) ^{( − 1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( С _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( С ₀ ) ^{− 4} =

 

Используя (Уравнение 2) для расчета этого результата:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{- 23,5} = 0,032900694...

 

Сейчас:

 

( С _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( С ₀ ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

т. е. тот же результат.

 

7. Общая формула деления с любым числом множителей и любыми степенями .

 

(( С _М ) ^П × ( С _Н ) ^Q × ( С _О ) ^Р × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Уравнение 8)

 

= ( С _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Ур.8а) =

( С _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Ур. 8б)

 

(Уравнение 8а) имеет ограничение, как и прежде, при степенях или индексах, равных «0».

( − П − Q − Р − ... − Z )+ ( п + q + р + ... + z ) ≠ 0

 

8. Логарифмы .

 

Получаем уравнения, аналогичные (уравнения 5а, 5б и 5в), логарифмируя обе стороны.

Слишком утомительно писать это здесь.

 

Комментарии :

 

Во всех этих формулах Index Math константа C ₀ = 0,986 976 350..., по-видимому, имеет первостепенное значение, как будто все остальные константы можно вычислить с помощью этой конкретной константы C ₀ плюс C ₈ = π и C ₇ = e.

 

Вот ссылки, связанные с этими статьями

 

1. Универсальная трансцендентная функция и универсальные трансцендентные константы, полученные из « π » и «e» >>> https://luxdeluce.com/395-182-4a-1.html

 

 

2. Таблица трансцендентных констант идет вниз >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Обновленная таблица трансцендентных констант идет вверх >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Индекс Математика – свойство трансцендентных констант >>> https://luxdeluce.com/483-270-9-2.html