۲۶ دسامبر ۲۰۱۶ میلادی، جشن سنت استفان

 

من فرمول‌های کلی برای ضرب، تقسیم، توان‌ها و لگاریتم‌ها برای ثابت‌های متعالی استخراج کردم.

استنتاج جمع و تفریق چالش برانگیزتر است؛ این کار فقط تا حدی انجام شده است.

ثابت‌های متعالی روش محاسبه منحصر به فرد خود را دارند، یعنی از چیزی استفاده می‌کنند که من آن را ... می‌نامم. ریاضیات شاخص .

 

یعنی از اندیس‌ها (زیرنویس‌ها)ی ثابت‌های داده شده برای محاسبه‌ی مقادیر جدید ضرب، تقسیم، توان‌ها و لگاریتم‌ها، و احتمالاً انتگرال‌ها و مشتق‌ها استفاده می‌شود.

من با مثال‌های ساده شروع می‌کنم تا درک آن آسان‌تر باشد و سپس فرمول‌های کلی را استخراج می‌کنم.

 

1. برای مثال، ضرب دو عدد ثابت را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁽ معادله 1)

 

بنابراین، در یک مثال مشخص، بیایید بگوییم

C _m = C ₈ = π = 3.141 592 654...

و

سی _ان = سی _۷ = ای = ۲.۷۱۸ ۲۸۱ ۸۲۸...

سپس

C ₈ × C ₇ = π × e = 3.141 592 654... × 2.718 281 828... = 8.539 734 223...

 

حالا،

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ) ² = ( _C ( _{15⁄2 )} ) ² = ( C7.5 ) ²

 

با استفاده از فرمول معادله ۱۱ از «کتاب ۱ - ثابت‌های متعالی - مقدمه».

می‌توانیم هر مقدار ثابتی را با اندیس حقیقی به صورت زیر محاسبه کنیم:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (معادله ۲)

 

FT( 7.5) = (0.986 976 350...) × ( 1.155 727 350...) ^7.5 = 2.922 282 364...

به توان دو رساندنی که به دست می‌آوریم

(۲.۹۲۲ ۲۸۲ ۳۶۴...) ^۲ = ۸.۵۳۹ ۷۳۴ ۲۱۶...

 

خطای نسبی است

ε = -0.000 000 001

یعنی، حداقل خطا (اگر اصلاً خطایی وجود داشته باشد) - محاسبات با ماشین حساب دستی انجام می‌شود.

 

2. جمع توان‌ها در فرمول ضرب دو عدد ثابت (معادله ۱)

 

می‌دهد:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q = [ ^C ( _p × _{m + q × n ) ⁄p + q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ معادله 3 ⁾

 

بیایید از مثال قبلی با کمی قدرت بیشتر استفاده کنیم:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0.25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0.25 + 3)} ) ^{0.25 + 3}

سمت چپ برابر است با

= ۲۶.۷۴۰ ۵۸۵ ۶۱...

 

و سمت راست (باز هم با استفاده از معادله ۲) به صورت زیر است:

= ( C _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

خطای نسبی

ε = ۰.۰۰۰۰۰۰۰۰۱

 

3. فرمول کلی ضرب برای هر توان و تعداد عامل‌ها .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (معادله ۴)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (معادله 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z - 1)} ( معادله 4b)

 

در (معادله ۴ الف) p + q + r +...+ z ≠ 0؛ بنابراین (معادله ۴ ب) بسیار قوی‌تر است.

 

مثال فرمول آخر برای سه عامل و سه توان با یک اندیس برابر با "0"؛ (استثنا: برای اینکه این فرمول کار کند، 2X0 باید برابر با 2 باشد).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0.986976350 ... ) ² = 0.064 568 027 ...

 

بخش دوم فرمول کلی می‌گوید

( C _{( (0.25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0.25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0.25 − 3 + 2)} = ( C _25.3333 ) ^{− 0.75} =

با استفاده از معادله ۲ برای محاسبه C ، داریم _{: ۲۵.۳۳۳۳}

= (۳۸.۶۰۴ ۹۷۸ ۳۲...) ^{− ۰.۷۵} = ۰.۰۶۴ ۵۶۸ ۰۲۷...

 

بخش سوم فرمول کلی می‌گوید:

( C ₍ 0.25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0.25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1.75} =

= (0.063 103 627...) × (1.023 206 273) = 0.064 568 027...

 

بنابراین، هر سه نتیجه یکسان هستند.

 

4. فرمول کلی برای لگاریتم حاصلضرب‌ها و توان .

 

چیز زیادی برای گفتن وجود ندارد. اما، با گرفتن لگاریتم از معادله ۴، داریم:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (معادله ۵)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (معادله ۵ الف)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (معادله 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) - 1] × ln( C0 )( معادله _{5c )}

 

دوباره، در (معادله ۵ب) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

ضرب توان و اندیس ثابت با اندیس برابر با «0»؛ (استثنا: برای اینکه کار کند ("توان" یا "اندیس") X 0 باید برابر با توان یا اندیس غیر برابر با 0 باشد).

 

5. تقسیم دو عدد ثابت .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} (معادله 6)

 

به عنوان مثال، C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1.155 727 350...

 

اکنون، با استفاده از (معادله 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7 )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− ۱} ) ^{− ۱} ⁄( C _۰ ) ^{− ۱} = (۰.۸۵۳ ۹۸۷ ۱۸۹...) ^{− ۱} ÷ (۰.۹۸۶ ۹۷۶ ۳۵۰...) ^{− ۱} =

= ۱.۱۵۵ ۷۲۷ ۳۵۰...

 

مقادیر ثابت‌ها از بخش وبلاگ «جدول ثابت‌های متعالی...» گرفته شده است.

 

نتایج یکسان.

 

6. تقسیم دو ثابت با توان .

 

( CM ₎ ^P⁄ ( Cn ₎ ^{q =} ( معادله 7 )

 

= ( سی _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (معادله 7a)

= ( سی _{(- P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄ ( C0 ₎ ^{( − 1 − ( P − q ))} ( معادله 7ب)

 

به عنوان مثال، از (معادل 7): ( C ₈ ) ^2.5 ⁄( C ₇ ) ^{- 0.5} = ( π ) ^2.5 ⁄( e ) ^{- 0.5} = 28.841 770 89...

از (معادله ۷ الف): ( C _{(( -۲.۵ × ۸ − ۰.۵ × ۷)⁄ − ۲.۵ − ۰.۵ )} ) ^{( ۲.۵ − ( -۰.۵ ))} =

= ( C _{( -20 − 3.5⁄ − 3)} ) ³ = ( C _7.8333 ) ³

 

با استفاده از (معادله ۲) این نتیجه را محاسبه می‌کنیم:

 

از فرمول کلی تابع متعالی:

 

TF( 7.8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7.8333 = 3.066 718 931...

 

و از معادله 7a:

 

( C _7.8333 ) ³ = (3.066 718 931...) ³ = 28.841 770 86...

 

از (معادله 7ب):

 

( C _{(− ۲.۵ × ۸ − ۰.۵ × ۷)} ) ^{− ۱} ⁄ ( C۰ ₎ ^{( − ۱ − (۲.۵ + ۰.۵ ))} =

= ( C _{− ۲۳.۵} ) ^{− ۱} ⁄( C _۰ ) ^{− ۴} =

 

با استفاده از (معادله ۲) این نتیجه را محاسبه می‌کنیم:

 

TF( -23.5) = (0.986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{- 23.5} = 0.032 900 694...

 

حالا:

 

( C _{− ۲۳.۵} ) ^{− ۱} ⁄( C _۰ ) ^{− ۴} = (۰.۰۳۲ ۹۰۰ ۶۹۴...) ^{− ۱} ÷ (۰.۹۸۶۹۷۶۳۵۰...) ^{− ۴} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

یعنی همان نتیجه.

 

7. فرمول کلی برای تقسیم با هر تعداد عامل و هر توانی .

 

(( سی _ام ) ^پی × ( سی _ان ) ^کیو × ( سی _او ) ^آر × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (معادله 8)

 

= ( سی _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) - ( p + q + r + ... + z ) ]} = (معادله ۸ الف) =

( سی _{((−)) P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( معادله 8b)

 

(معادله 8a) مانند قبل محدودیتی دارد، با توان‌ها یا اندیس‌های برابر با "0".

(− P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. لگاریتم‌ها​

 

با گرفتن لگاریتم از دو طرف، معادلات مشابهی با (معادلات 5a، 5b و 5c) به دست می‌آوریم.

نوشتنش اینجا خیلی خسته کننده است.

 

نظرات :

 

در تمام این فرمول‌های ریاضی شاخص، به نظر می‌رسد ثابت C0 = _0.986 976 350... از اهمیت بالایی برخوردار است، گویی می‌توان تمام ثابت‌های دیگر را با این ثابت خاص C0 به علاوه C8 ₌ π و _C7 = e _{محاسبه کرد} .

 

لینک‌های مرتبط با این مقالات را اینجا قرار می‌دهم

 

1. تابع متعالی جهانی و ثابت‌های متعالی جهانی مشتق شده از " π " و "e" >>> https://luxdeluce.com/415-202.html

 

 

2. جدول ثابت‌های متعالی به ترتیب نزولی >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. جدول ثابت‌های متعالی به‌روزرسانی شد >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. ریاضیات فهرست - ویژگی ثابت‌های متعالی >>> https://luxdeluce.com/481-268-9.html